באחד מימות השבוע הקרוב אפרסם פוסט חדש.
זה יקרה אולי בראשון, אולי בשני, אולי בשלישי, אולי ברביעי ואולי בחמישי. אני שומר זאת כהפתעה.
האם אוכל לקיים את הבטחתי?
נראה שכן. רובכם לא ינחשו באיזה יום אבחר לעשות זאת, ולפיכך יופתעו.
אבל רגע אחד.
האם אני יכול להפתיע אתכם ולפרסם אותו ביום חמישי?
לא. כי אז בסוף יום רביעי תדעו לבטח שלמחרת אפרסם אותו, שהרי לא נותרה ברירה אחרת. ואז זה לא יהיה פוסט פתע. פסלנו את חמישי.
האם אני יכול להפתיע אתכם ולפרסם אותו ברביעי?
לא. מאותה סיבה שפסלנו את חמישי. שהרי אם לא אפרסם אותו עד שלישי בלילה, תדעו שזה חייב להתפרסם ברביעי. (את חמישי הרי פסלנו כבר).
באותו אופן תוכלו להמשיך ללכת אחורה, ותגיעו למסקנה הבלתי נמנעת שאני לא יכול לפרסם פוסט באף יום ועדיין להפתיע אתכם.
מה שכמובן אינו נכון. אני יכול.
מי יכול להסביר מה קורה כאן?
* עיטור כבוד יוענק לנותן ההסבר הקצר והברור ביותר (בעברית).
עדכון (17.12.12)
בעקבות השיחות הערות שהתפתחו סביב הסוגיה הרים גדי את הכפפה, וכתב פוסט שלם בנושא. מומלץ לקרוא, ביחוד למי שלא רק מחפש "פתרון" לפרדוקס אלא גם מנסה להבין אותו יותר לעומק. מסתבר שמחילת הארנב עמוקה הרבה יותר משנדמה במבט ראשון!
רוצים לקבל עדכון במייל בכל פעם שאני מפרסם משהו חדש? הרשמו למעלה מימין (תמיד אפשר לבטל). חושבים שאחרים יכולים להתעניין? שילחו להם את הכתבה או שתפו בפייסבוק!
היום נפגוש כל מיני ישויות לא אנושיות, שמתייחסות לעצמן. נעשה זאת בקלילות, אך מי שמעוניין יכול לשקוע במשך שעות, ימים ואף שבועות רבים בהשלכות מרחיקות הלכת של השעשועים התמימים למראה הללו (ראו קישורים בגוף הכתבה).
נתחיל במשפטים. הנה דוגמה טריוויאלית:
המשפט הזה מכיל חמש מילים.
זה נכון.
המשפט הזה מכיל שש מילים.
זה לא נכון.
ומה עם זה?
המשפט הזה אינו נכון.
אם המשפט הזה לא נכון, זה אומר שהוא נכון. ואם הוא נכון, זה אומר שהוא לא נכון. וחוזר חלילה…
זו גירסה פשוטה של פרדוקס השקרן, פרדוקס ששימש נקודת זינוק למהפכות במתמטיקה (ראה "משפטי האי שלמות של גדל").
בכלל, צרות צרורות מתרחשות כשטענות מתחילות להתייחס לנכונות של עצמן.
הרחבות, דקויות ותהיות נוספות אפשר לקרוא למשל כאן: פרדוקסים של הוראה עצמית.
הנה שלשה חמודה:
למשפט הזה אין
הזה אין התחלה.
הזה אין לא סוף ולא
משפט עם מודעות עצמית בריאה:
לדבר על עצמו, זה הדבר היחיד שהמשפט הזה עושה.
Drawing Hands / M. C. Escher, 1948 (ויקיפדיה)
דינמיקה מעניינת נוצרת כאן (כלומר שם):
אם אתה קורא את זה, אתה כבר כאן, וכן, למרות מה שאתה אולי חושב עכשיו, היה הכרחי שתגיע לכאן כדי לקרוא את זה.
וכעת תורכם. השלימו את החסר:
המילה אחת מופיעה במשפט זה _____. (פעם אחת / פעמיים)
משפט זה מכיל בדיוק, לא פחות ולא יותר מאשר _______ מילים. (עשר / אחת עשרה)
גרפיקאי היה עושה את זה יותר טוב, אבל זה הרעיון:
הנה משהו מסוג עוד יותר מתוחכם:
משפט זה מונה ארבע א', שש ב', ארבע ה', שמונה ו', שתי ז', שלוש ח', שתי ט', שבע י', ארבע ל', שש מ', שלוש נ', שבע ע', שתי פ', חמש ר', עשרים ושתיים ש', חמש ת' ושלוש ם'.
אתם מוזמנים לבדוק!
כדי להדגים כמה האיזון ארעי, מספר לנו המשפט הבא כי –
אם המשפט הזה היה כתוב ללא שגיעת כתיב, כבר לא היו בו רק שמונה-עשרה א', גם לא עשרים-ואחת ע', ולכן גם לא שלושים ש', ככל הנראה לא היו נשארות בו ארבע-עשרה ב', ארבע ג', שלוש ד', עשרים ה', עשרים ו', שתי ז', שלוש ח', שתי ט', עשרים י', שבע כ', ארבע-עשרה ל', חמש מ', שתים-עשרה ם', ארבע נ', שתי ן', ארבע פ', שתי ק', עשרים ר', ובודאי לא עוד היתה מופיעה בו שלוש-עשרה פעם האות ת'…
והנה צמד משפטים מוזר, זהים אך שונים:
פתאום חששתי מגניבת זכויות יוצרים, אז יצרתי את זה:
במשפט הזה שיצר גלעד דיאמנט מופיעות חמש א', שש ב', שתי ג', שלוש ד', שש ה', עשר ו', שתי ז', ארבע ח', שלוש ט', תשע י', חמש ל', שמונה מ', ארבע נ', אחת עשרה ע', שלוש פ', שתי צ', שבע ר', עשרים ושבע ש', שמונה ת' ושתי ם'.
ואת זה אני לא יכול לפרסם בשום מקום אחר, בלי להפוך את הטענה לשקרית:
המשפט הזה, שמופיע רק בבלוג "חשיבה חדה" מכיל שתי א', שבע ב', שתי ג', שתי ד', תשע ה', שמונה ו', שתי ז', חמש ח', שתי ט', ארבע עשרה י', שתי כ', שש ל', שבע מ', שתי נ', תשע ע', שלוש פ', שתי ק', חמש ר', שלושים ש', שתים עשרה ת' ושלוש ם'.
***
הנה חידה (בהחלט פתירה) בשבילכם. השלימו את הפסקה הבאה ע"י הצבת מספרים בקוים הריקים ("1 פעמים" זו אפשרות קבילה):
רוצים לקבל הודעות למייל על פרסום רשומות עתידיות? הרשמו למעלה מימין (תמיד אפשר לבטל). חושבים שאחרים יכולים להתעניין? שילחו להם את הכתבה או שתפו בפייסבוק!
פתאום חששתי מגניבת זכויות יוצרים, אז יצרתי את זה:
חשיבה חדה 