הבלים

והיום, פוסט אורח מאת גדי אלכסנדרוביץ',
בעל תואר ראשון במתמטיקה ותואר שלישי במדעי המחשב מהטכניון
וכותב הבלוג המושקע והמומלץ "לא מדויק".

בואו נדבר על מתמטיקה.

בבואנו לדבר על מתמטיקה, בראש ובראשונה אנו מקבלים כי מתמטיקה הינה שפה. שפה שעשויה להסביר תופעות, שפה שבה ניתן להסביר תופעות, שפה בעזרתה ניתן להיכנס לנבכי הבריאה על מנת ללמוד קצת מהידע בעולם, ידע בו חולקים איתנו מתמטיקאים ידועי שם, ואת ההסברים שלהם לתופעות, מבנים מקודשים, מבנה החומרים, מבנה דנ"א, מבנה הגלקסיה ותיאוריות של שדה תודעה אחיד.

רגע, מה?

עד איזה שלב הצלחתי להוליך אתכם שולל וגרמתי לכם לחשוב שאנחנו עומדים לדבר על מתמטיקה? אני מנחש שב"נבכי הבריאה" הרמתם גבה ותהיתם לגבי הסגנון המליצי, ב"ידע בו חולקים איתנו מתמטיקאים ידועי שם" כבר התחלתם לדאוג, וכשהגעתי ל"מבנים מקודשים" היה ברור שאיבדתי את זה לגמרי. המהפך חל כנראה בשורה האחרונה, וכשהגעתי ל"שדה תודעה אחיד" הבנתם כי אני רק מתלוצץ.

אני נתקעתי כבר ב"בראש ובראשונה אנו מקבלים כי מתמטיקה הינה שפה". לפני שנצלול לתהומות, הייתי רוצה לומר כמה מילים על תפישה זו – של המתמטיקה כשפה – תפישה שלדעתי היא שגויה, אבל רווחת מאוד בקרב הציבור הרחב (ואני משער שגם בקרב לא מעט אנשים שבקיאים במתמטיקה).

ההתייחסות למתמטיקה כ"שפה" אינה משוללת בסיס לגמרי; המתמטיקה כוללת אינספור מושגים שונים ומשונים, שניתן להשתמש בהם כדי לתאר תופעות מציאותיות (לתאר, לא להסביר). המושג המוכר ביותר הוא זה של מספר שבו אנחנו משתמשים כל הזמן, בכל מקום; ודוגמה אחת למושג שימושי ביותר שמגיע ממתמטיקה מתקדמת יותר הוא נגזרת, שמאפשרת לנו לתאר בצורה מדויקת תנועה של אובייקטים (ה"מהירות הרגעית" של אובייקט נע היא נגזרת לפי הזמן של הפונקציה שמתארת את המקום שלו, כלומר למעשה – קצב שינוי המקום).

אני חושב שכל כך הרבה אנשים מתייחסים למתמטיקה כ"שפה" מכיוון שהאופן המודרני שבו אנו עוסקים במתמטיקה כולל שימוש נכבד בסימונים והגדרות שנראים חסרי פשר למי שאינם מכירים אותם, כמו שכתב סיני נראה חסר פשר למי שאינו מכיר אותו. זה לא תמיד היה כך; בעבר מתמטיקה תוארה בצורה מילולית מאוד, ולטעמי בשל כך הייתה מובנת הרבה פחות דווקא. הסימונים המתמטיים הם פשוט דרך לתאר את המתמטיקה בצורה ברורה יותר וקלה יותר לעיכול; זה עדיין לא הופך את המתמטיקה ל"שפה".

מהפרינקיפה מתמטיקה של ראסל ו-ויטהד (שימו לב לשורה התחתונה)

לרוב, המושגים המתמטיים מגיעים מתוך הפשטה של מושגים קיימים מחיי היום יום שלנו וחקירה של התכונות שלהם, שנעשית פשוטה יותר לאחר ההפשטה הזו. למשל, המשותף ל"שני כדורים" ו"שני ילדים" הוא המספר 2, שמהווה הפשטה של שתי הסיטואציות הללו. המשוואה 2=1+1 היא דרך מופשטת לומר "כדור ועוד כדור נותן לנו שני כדורים" וגם "ילד ועוד ילד נותן לנו שני ילדים" בלי שיהיה צורך לדבר על הפרטים הלא רלוונטיים של האם יש לנו שני כדורים, או שני ילדים דווקא. כלומר, התכונה 2=1+1 היא משהו שמתקיים תמיד כשסופרים יחד שני עצמים זהים.

ולמה אני מספר לכם על קצה המזלג מהי כן מתמטיקה לדעתי?
שכן אני רוצה לדבר איתכם כאן על מה מתמטיקה היא ממש לא, על ידי בחינת מקרה קיצוני, וזאת בתקווה לסייע לכם להבחין בין מתמטיקה לדברים אחרים לגמרי, גם בסיטואציות פחות קיצוניות.

הפסקה ההזויה איתה פתחתי את המאמר אינה המצאה שלי; היא לקוחה ממאמר שמתיימר להיות רציני לגמרי.

אני רוצה לשכנע אתכם שהמאמר עוסק למעשה בנומרולוגיה, כלומר, בתחום הפסאודו-מדעי שעוסק בייחוס תכונות למספרים ונסיון להסקת מסקנות מכך על המציאות. על כך שהתחום הזה אינו קשור כלל למציאות אני מוכן לסלוח; מה שמפריע לי הוא שהתחום מתעקש להתחזות למתמטיקה.

המאמר מצהיר "אין כותבי שורות אלה מתיימרים להיות מתימטיקאים או להבין יותר מהממוצע. עם זאת, המתימטיקה בה אנו נוגעים הינה פשוטה יחסית ומצביעה על צורות גיאומטריות ומבנים טבעיים אותם ניתן להבין בעזרת מעט פתיחות והגיון". אז יאללה, בואו נגלה פתיחות והגיון ונראה לאן המאמר יוביל אותנו. החלק במאמר שאדבר עליו מציג רעיונות של אחד, מרקו רודין, שאין לי מושג מי הוא אבל אני כבר מודיע שאני לא מחבב אותו.

המאמר דווקא נפתח טוב, בהצגת תופעה מתמטית מעניינת. אמנם, הוא מקדים לה כמה אמירות הזויות כמו "אנו ננסה להתרכז בחשבון פשוט, חשבון פיתגורי" (אין לי מושג מה זה "חשבון פיתגורי") ו-"צריך לזכור שיש רק 9 מספרים אמיתיים, את הספרה 0 המציא האדם כשומר מקום. כל המספרים בעולם מורכבים רק מ-9 ספרות" שמגלה חוסר הבנה בסיסי ביותר לגבי העובדה ששיטת הספירה הנוכחית שלנו, שבה יש 10 ספרות, היא דבר שרירותי לחלוטין, ובמקומות שונים בעולם השתמשו בעבר גם בשיטות ספירה אחרות. הבבלים השתמשו ב-60 ספרות; בני המאיה השתמשו ב-20; היוונים והרומאים – וגם היהודים – השתמשו בשיטות ספירה שונות לגמרי באופיין מזו שלנו כיום; ועוד כהנה וכהנה, נושא לדיון מרתק בפני עצמו.

אבל מילא. כעת המאמר מציג תופעה: הוא מסתכל על חזקות של 2, כלומר על המספרים 1,2,4,8,16,32 וכן הלאה (1 הוא 2 בחזקת 0 ולכן הוא מופיע כאן). לכל חזקה, לוקחים את הכתיב העשרוני שלה ומחברים את הספרות עד לקבלת מספר. אם המספר שהתקבל הוא חד ספרתי, עוצרים כאן; אחרת מחברים שוב את הספרות וחוזר חלילה. כך למשל עבור 2 בחזקת 12 מקבלים את 4096. נחבר את הספרות ונקבל 19=4+0+9+6. נחבר שוב את הספרות ונקבל 10=1+9. נחבר שוב את הספרות ונקבל 1. לעומת זאת, עבור 2 בחזקת 13 נקבל את 8192, ואחרי חיבורי הספרות נקבל 2. המאמר מציג רשימה ארוכה להחריד (הרבה יותר מהנדרש) של חזקות כאלו והערכים שמתקבלים מסיכומי הספרות, ואנחנו שמים לב לכך שצצה תבנית מחזורית: …1,2,4,8,7,5,1,2,4,8,7,5,1,2,4,8,7,5 וכן הלאה.

קסם!

זה השלב שבו הנומרולוג והמתמטיקאי נפרדים זה מזה. המתמטיקאי בוהה בסדרת המספרים ומנסה להבין – מה הולך כאן? מה ההגיון? מהיכן המחזוריות מגיעה? למה 3,6,9 אינם מופיעים בסדרה? האם יש דרך פשוטה לתאר את הפעולה "נחבר שוב ושוב את הספרות עד שנקבל מספר חד ספרתי"? האם זו תופעה שמתרחשת רק בבסיס 10 או שגם אצל הבבלים הם היו רואים משהו דומה? מה קורה לחזקות של מספר שונה מ-2? ובכן, על כל השאלות הללו אני מתכוון לענות מיד;
אני רק רוצה להבהיר שהשאלות הללו, בעיני, הן מהות המתמטיקה. כדאי לציין במפורש שהמספרים כאן הם על תקן "הנה אובייקט מעניין עם תופעה מעניינת, בואו נחקור אותו מתמטית!" – אנחנו 'עושים פה מתמטיקה' לא בגלל שאנחנו מדברים על מספרים דווקא, אלא בגלל אופי השאלות שאנחנו שואלים.

מה עושה הנומרולוג? ובכן, הוא לא מנסה להבין את התופעה; הוא מנסה לייחס משמעות שרירותית לתופעה:

"אפשר לראות סדרת מספרים שחוזרת על עצמה 1,2,4,8,7,5. אפשר גם לראות שהמספרים 3,6,9 אינם נמצאים.
המספרים 1,2,4,8,7,5 עפ"י רודין, מייצגים את המימד השלישי, כשהמספרים 3,6,9 הינם וקטור למימד הרביעי"

מה קורה פה? מאיפה נכנס לתמונה "המימד השלישי" פתאום? למה "המימד השלישי" קשור דווקא לסדרת מספרים שצצה כשלוקחים חזקות של 2 (למה 2?) וסוכמים להם ספרות (למה לסכום ספרות?) בבסיס 10 (למה בסיס 10)? המאמר לא עונה על כך, רק זורק את ה"עובדה" הזו. ומה זה "וקטור למימד הרביעי"? אני מכיר מספר משמעויות של "וקטור" במתמטיקה, אבל "וקטור למימד הרביעי" נשמע לי כמו צירוף מילים חסר משמעות. ועל איזה מימד רביעי מדובר? זמן? ואיך 3,6,9 הם "וקטור" שקשור למימד הרביעי? אין למאמר תשובה לשאלות הללו. תחת זאת, הוא ממשיך לזרוק "עובדות" על הקהל הנדהם.

כך לא עובדת מתמטיקה.

טקסט מתמטי אמיתי תמיד מגדיר את המושגים שהוא מדבר עליהם; טקסט מתמטי אמיתי תמיד מוכיח את הטענות שהוא טוען, או מספק הפניה למקום שמוכיח (טוב, זה לא נכון; טקסט שמיועד לקהל מקצועי לרוב ישאיר חורים בהוכחות באותם מקומות שבהם הקורא המיומן מסוגל להשלים את ההוכחה בעצמו, אבל לא על זה אנחנו מדברים כאן).

תנו לי להדגים לכם איך טקסט מתמטי אמור לטפל בתופעת ה-1,2,4,8,7,5 המסתורית. מה שנעשה הוא פשוט מאוד. ניקח את מה שעל פניו נראה כמו פעולה סבוכה למדי – לקחת מספר, לחבר את הספרות שלו, לראות אם קיבלנו משהו גדול מ-9 ואם כן, לחבר שוב את הספרות וכו' – ונראה שהוא בסך הכל תיאור מסובך של פעולה פשוטה יותר, וחשוב מכך – נפוצה יותר במתמטיקה; פעולה שנחקרה מכל כיוון אפשרי ויש לה שימושים מעשיים רבים – פעולת המודולו.

נתחיל עם דוגמה: 17 מודולו 6 הוא מה שמתקבל כשמחלקים את 17 ב-6 ולוקחים רק את השארית. המספר 6 נכנס פעמיים בשלמותו ב-17 (2 כפול 6 הם 12) והשארית שנותרת היא 5. על זה אומרים ש-17 מודולו 6 שווה 5. באופן דומה, 17 מודולו 8 הוא 1 ואילו 8 מודולו 6 הוא 2.

באופן כללי המתמטיקאים מסמנים זאת כך: כדי למצוא למה שווה המספר a מודולו המספר n כותבים את a בתור a=nq+r כאשר r הוא מספר שקטן מ-n וגדול או שווה לאפס, ואז r הוא תוצאת פעולת המודולו. צריך כמובן להוכיח שאפשר לכתוב את a בצורה כזו, אבל כדי לא להלאות אתכם לא אכנס להוכחות פורמליות כאן (אמרתי שטקסט מתמטי אמיתי תמיד מוכיח או מפנה למקום שמוכיח, אז לכל דבר מתמטי בפוסט הזה אני מפנה את הקוראים ל-Abstract Algebra של Dummit ו-Foote, שהוא מספרי המתמטיקה החביבים עלי – אגב, באופן הולם למדי, את הטענה הספציפית הזו הספר מציג בתחילתו, אבל מוכיח אותה רק בשלב הרבה יותר מתקדם, כחלק מתורה כללית הרבה יותר).

עכשיו להגדרה: אומרים ששני מספרים a,b הם שקולים מודולו n אם השארית של חלוקת כל אחד מהם ב-n זהה. טענה שקולה לחלוטין, שהיא קצת יותר שימושית בפועל, היא שההפרש שלהם מתחלק ב-n, כלומר, כפולה שלמה של n מפרידה בין שניהם. למשל, 19 שקול ל-7, מודולו 6 (שניהם משאירים שארית 1 כשמחלקים אותם ב-6; ההפרש של שניהם הוא 12, שמתחלק ב-6), ולמשל, 10 שקול ל-1, מודולו 9. ולמשל, 100 שקול ל-1 מודולו 9, כי 100 פחות 1 הוא 99 שמתחלק ב-9; וגם 1000 שקול ל-1 מודולו 9 כי ההפרש שלהם הוא 999, ובאופן כללי… הבנתם את הרעיון. כל חזקה של 10 שקולה ל-1 מודולו 9.

יש דרך מתמטית יפה יותר להסביר זאת: אם a שקול ל-b מודולו n, וגם c שקול ל-d מודולו n, אז a+c שקול ל-b+d מודולו n. (במילים אחרות, אם כפולה שלמה של n מפרידה בין a ל-b, וכפולה שלמה של n מפרידה בין c ל-d, ברור שגם כפולה שלמה של n תפריד בין a+c ל-b+d).
הדבר יהיה נכון גם לגבי פעולת כפל – במקרה זה גם ac יהיה שקול ל-bd מודולו n, כלומר, פעולות החיבור והכפל "עובדות" גם במשוואות של שקילות מודולו n, מה שמאפשר לנו לעשות חשבון כמעט כרגיל כשהכל נעשה מודולו n; לחשבון הזה קוראים המתמטיקאים חשבון מודולרי.

עכשיו לפאנץ' שקושר את מה שדיברתי עליו לתופעה שראינו קודם. מה זה אומר לקחת מספר ולהחליף אותו בסכום הספרות שלו? בואו נראה דוגמה. המספר 627 שווה בעצם לסכום הבא: 6*100 + 2*10 + 7*1. כלומר, אפשר להציג אותו בתור סכום של הספרות שלו, כשכל ספרה מוכפלת בחזקה כלשהי של 10. ראינו כבר קודם שכל חזקה של 10 שקולה ל-1 מודולו 9, ולכן במסגרת החשבון המודולרי אפשר להחליף את כל החזקות הללו ב-1 ולקבל מספר ששקול ל-627 מודולו 9: המספר 6+2+7, ששווה ל-15. האמנם 15 ו-627 שקולים מודולו 9? ובכן, 69 כפול 9 הוא 621, ולכן 627 כשמחלקים אותו ב-9 מחזיר שארית 6, וכך גם 15. מעניין.

עכשיו, אפשר לחזור על אותו התהליך גם עבור 15: הרי 15 שווה ל-5*1 + 1*10, ולכן מספר שקול לו מודולו 9 יהיה 5+1, כלומר 6. הפעם הגענו למספר חד ספרתי ולכן אפשר "לעצור", אבל האם בכלל היה צורך לעבור "דרך" 15? התשובה שלילית – היה מספיק לנו לחלק את 627 ב-9 ולראות מה השארית.

אם כן, זה האופן שבו המתמטיקאי רואה את התהליך שתיאר המאמר: לוקחים מספר כלשהו ומחליפים אותו במספר אחר שמחושב מתוכו באיזו צורה מסובכת ולא מעניינת. הצורה שבה החישוב מתבצע לא רלוונטית; כל מה שמעניין את המתמטיקאי הוא שמתקיימות שתי תכונות: ראשית, המספר החדש קטן מהמספר המקורי (נסו להסביר לעצמכם למה זה תמיד נכון, כל עוד יש לנו מספר שאינו חד ספרתי), ושנית – המספר החדש שקול מודולו 9 למספר המקורי. על התהליך הזה חוזרים שוב ושוב, ולכן מקבלים שרשרת של מספרים שכולם שקולים זה לזה מודולו 9 (מתחבאת כאן טענה מתמטית נוספת שלא הוכחתי: שאם a שקול ל-b מודולו 9 ואילו b שקול ל-c מודולו 9, אז a שקול ל-c מודולו 9; די קל להוכיח את הטענה הזו – נסו להבין איך!). השרשרת מסתיימת במספר שהוא בין 1 ל-9, כאשר 9 יתקבל עבור מספר שמראש התחלק ב-9 (ולכן שקול מודולו 9 ל-0, כי השארית בחלוקה ל-9 היא 0; אבל זו גם שקילות ל-9 באותה מידה).

לכן אפשר לשכוח מהפעולה של "לחבר את הספרות שוב ושוב". היא לא רלוונטית. היא מסך עשן. היא דרך מסובכת לומר "קחו את המספר מודולו 9 והחזירו את התוצאה, ואם קיבלתם 0 החזירו 9". בנוסף, ברור שהתופעה הזו אינה ייחודית לבסיס 10; למשל, בבסיס 8 יקרה אותו דבר בדיוק, אבל מודולו 7. כך למשל המספר "ארבעים וארבע" נכתב בבסיס 8 בתור 54, וסכום הספרות הוא המספר "תשע" שבבסיס 8 נכתב בתור 11, וסכום הספרות שלו הוא 2. נחשו מה? ארבעים וארבע מודולו 7 הוא 2! וזה, כמובן, לא מקרי: בבסיס b, עבור כל מספר b שגדול מ-1, נקבל שתוצאת ה"חבר שוב ושוב את הספרות" תהיה המספר המקורי מודולו b-1.

כל זה אמנם מסביר לנו את פעולת החישוב המוזרה, אבל עדיין לא מסביר לנו מהיכן צצה הסדרה הקדושה 1,2,4,8,7,5. התשובה הזריזה היא שזו ההתנהגות של החזקות של 2 כאשר מסתכלים עליהן מודולו 9. החזקות הראשונות, עד 8, נראות כמו החזקות הרגילות של 2; החזקה הבאה של של 2 היא 16, ומודולו 9 היא שווה ל-7; החזקה הבאה היא 32 אבל לא באמת צריך לזכור את זה – אפשר לכפול את 7 ב-2 באותה מידה ולקחת את התוצאה מודולו 9. נקבל 14 מודולו 9, כלומר 5. ועכשיו נכפול את 5 ב-2 ונקבל 10 מודולו 9, כלומר 1, והנה חזרנו להתחלה. זה מסביר למה קיבלנו סדרה מחזורית ולמה המחזור נראה בדיוק כפי שהוא נראה (ולא, נניח, ממוין לפי סדר עולה).

עכשיו, אחרי שהבנו את העיקרון הכללי יותר שעומד מאחורי הדברים, אפשר לענות על השאלה "מה היה קורה אם היינו לוקחים חזקות שאינן של 2?". למשל, אם היינו מתחילים עם 3, החזקה הבאה הייתה 9, והחזקה שאחריה הייתה 27 שהיא 0 מודולו 9, כלומר היא מייצגת גם את 9 אצלנו, ומכאן קל לראות שהיינו "נתקעים" על 9. ומה קורה עם 4? החזקה הבאה של 4 היא 16 ששקול ל-7 מודולו 9; ו-7 כפול 4 הוא 28 ששקול ל-1 מודולו 9, ואז היינו מקבלים שוב 4. כלומר, היינו מקבלים את הסדרה המחזורית 1,4,7,1,4,7 וכן הלאה.

מסתבר ש-2 הוא כן בעל תכונה "נחמדה" בהקשר הזה, מהסיבה הבאה:
מבלי להכנס לכל התיאוריה כרגע, מה שקורה כאן הוא שגילינו אובייקט שנקרא החבורה הכפלית מודולו 9 וכולל את כל המספרים הטבעיים שהם קטנים מ-9 וזרים לו. מספר הוא "זר" ל-9 אם אין לו מחלק משותף עם 9. המספרים שקטנים מ-9 ואינם זרים לו הם 3 ו-6 (בשני המקרים המחלק המשותף להם ול-9 הוא 3). זה משפט מתמטי ידוע (ולא מיידי להוכחה) שלכל n טבעי, קיים מספר שיוצר את החבורה הכפלית מודולו n, במובן זה שיש מספר שהחזקות שלו, מודולו n, נותנות (באופן מחזורי) את כל המספרים הקטנים מ-n שזרים לו. ניתן גם להוכיח (וזה פחות קשה) שאם ניקח מספר שזר ל-n ונסתכל על החזקות שלו מודולו n, לעולם לא נוכל להגיע למספר שאינו זר ל-n. זה מסביר באופן מלא את התופעה שראינו: 2 הוא פשוט היוצר של הסדרה 1,2,4,8,7,5 של כל המספרים שקטנים מ-9 וזרים לו; והמספרים 3,6,9 לא מופיעים בסדרה הזו כי אינם זרים ל-9. והמספר 9 כל כך רלוונטי כאן כי אנחנו בבסיס 10.

בבסיסים אחרים תהיה תופעה דומה, אם כי אולי עם מספרים אחרים. בבסיס 8 התופעה למעשה נחמדה יותר, כי אז אנחנו מדברים על החבורה הכפלית מודולו 7, ו-7 הוא מספר ראשוני ולכן כל מספר שקטן ממנו זר לו. אם נסתכל על החזקות של 2 מודולו 7 נראה שהן 1,2,4,1, כך ש-2 אינו יוצר , אבל חזקות של 3 מתנהגות נחמד יותר: 1,3,2,6,4,5.

במילים אחרות, אם היינו סופרים בבסיס 8 ולא בבסיס 10, כל התיאוריה הנומרולוגית היפה של "המימד השלישי" ו"וקטור למימד הרביעי" קורסת ואפילו לא היה אפשר למצוא שום אנלוג שדומה לה. כדי שמרקו רודין ישכנע אותי בכל המיסטיקה שלו, הוא צריך קודם לשכנע אותי שהבחירה שלו בבסיס 10 כבסיס ספירה היא לא שרירותית, כלומר, אינה נובעת מכך שזו הנורמה שהשתרשה אצלנו (כי יש לנו 10 אצבעות?).

סיכום מסע

ראינו כיצד אפשר להתחיל מאותה תגלית – חוקיות מספרית מסקרנת – ולהתפצל לשני כיוונים שונים לגמרי.

הניתוח המתמטי מחפש ומוצא את ההגיון והחוקיות שעומדים מאחורי התופעה, ובכך מצליח לא רק להסביר אותה אלא גם להרחיב ולהכליל את הבנתנו למקרים רבים נוספים (ולעיתים אף למצוא לדברים שימושים מפתיעים בחיי היום יום).
הגישה הפסאודו-מתמטית לעומת זאת, לא רק שאינה מצליחה להסביר את אותה חוקיות בסיסית, אלא מתעקשת להצמיד לה פרשנות מאגית שרירותית לגמרי, חסרת כל אחיזה במציאות, שקורסת ברגע שמשנים את אחת מהנחות היסוד השרירותיות עליהן היא נשענת. (וראו נומרולוגיה).

הבדל זה בין הגישות אינו מפתיע, שכן המטרות שונות בתכלית, וכך גם קהל היעד. אחרי הכל, נראה שמטרתם של כל אותם מתחזי-מתמטיקאים ומתחזי-מדענים למיניהם היא ייצור מסתורין ומיתוסים, לא הבנה וידע.

לקריאה נוספת: