בפוסטים קודמים על נומרולוגיה, ציטטנו מתוך ספרה של סוניה דוסי את הטענה הבסיסית הבאה:

"הנומרולוגיה היא מדע במובן המודרני."

דנו בכך בקבוצה וגם בבלוג, והועלו הסברים מדוע נומרולוגיה היא מדע, כנובע מהשימוש שהיא עושה במספרים.

            "למספרים אינטליגנציה גבוהה שעדיין לא נחקרה מספיק ואם נחקרה, מעט מדי לטעמי."

האתר הזה למשל טוען:

"נומרולוגיה היא מדע של 'מתמטיקה גבוהה'."

הנומרולוגית הזו טוענת בספרה נומרולוגיה משולבת:

"אף שהמדע המודרני צעד צעדי ענק מאז פיתגורס והתקדם בהבנתו את סודות היקום, הוא טרם הצליח למצוא תיאוריה המאחדת את הכול, אבל גם כיום מאמצים מדענים מפורסמים דוגמת סטיבן הוקינג וריצ'רד פיינמן את התפיסה הפיתגוראית של המספרים ככלי החזק ביותר למציאת האמת: מתמטיקה, פיזיקה קלאסית, פיזיקת הקוונטים והמיתרים, קוד ד.נ.א. (D.N.A.), קוד שפת המחשב, אסטרונומיה, אסטרופיזיקה, כימיה מולקולרית וכיוצא באלה, כולם משתמשים בשפה הסימבולית של המספרים, שהיא גם שפה אנושית אוניברסלית וגם מפתח לגילוי הסודות של הטבע."

או בניסוח קצר וקולע:

"הנומרולוגיה מסתמכת על מספרים כמדעים אחרים (למשל מתמטיקה), ולכן היא מדעית כמותם."

מתי מטיקה?

בפוסט הזה לא נעסוק שוב בנומרולוגיה, אלא רק ננסה להבין כיצד בדיוק הטיעון לעיל מנסה להראות שהנומרולוגיה היא מדעית. מה בעצם נטען? נפרק להנחות, טיעונים, ומסקנות, בצורה יותר פורמלית:

טיעון ראשון:

• הנחה: מתמטיקה היא מדעית*.
• הנחה: מתמטיקה מסתמכת על מספרים.
• מסקנה: כל מה שמסתמך על מספרים הוא מדעי.

* לא נכנס כרגע לויכוח המעניין בפני עצמו, האם מתמטיקה היא האמא של המדעים, חברה מן המניין או בכלל בת חורגת.

טיעון שני:

• הנחה: נומרולוגיה מסתמכת על מספרים.
• הנחה: כל מה שמסתמך על מספרים הוא מדעי (המסקנה של הטיעון הראשון).
• מסקנה: נומרולוגיה היא מדעית.

סילוגיזם אתה באמא'שך

כפי ששמתם לב, בנינו את הטיעונים בצורה מאוד מסוימת, הנקראת סילוגיזם. צורה זו הוגדרה כבר ע"י היוונים בלוגיקה הקלאסית לפני כ-2400 שנה ומאפייניה:

• שתי הנחות: הנחה ראשית והנחה משנית (אפשר גם יותר, לסילוגיזם קטיגורי בדיוק שתיים).
• מסקנה אחת.
• המסקנה נובעת מן ההנחות.

תקפותו של טיעון מסוג סילוגיזם תלויה בצורתו. צורות מסוימות תקפות תמיד, וצורות אחרות אינן. כאן אפשר למצוא רשימה של צורות טיעונים תקפות. ניתנו להם שמות שונים בימי הביניים כדי להקל על הזכירה, כאשר שלוש אותיות הניקוד באנגלית מתארות את סוג הטיעון. האות A מתארת היגד כולל מהצורה: 'כל X הוא גם Y'. אותיות נוספות משמשות לשלילה גורפת: 'אף X הוא לא Y', למשל: "אף דג לא עף" (האם זה נכון? תשובה בסוף הפוסט); או היגד חלקי: 'כמה X הם גם Y', למשל "חלק מהצמחונים אוכלים דגים".

נתמקד למשל בטיעון שנקרא ברברה – או Barbara:

• הנחה: כל X הוא Y
• הנחה: כל Y הוא Z
• מסקנה:כל X הוא Z

חידה: האם ברברה היא הבלונדינית?

טיעון ברברה מכיל הנחות ומסקנות שכולן היגד כולל (שימוש במילה "כל" בכל אחת מן ההנחות ובמסקנה) ולכן שלוש פעמים A. איך זה קשור אלינו? אפילו אני עוד רגע הולך לאיבוד…

אז ככה. נגדיר:

• X = נומרולוגי
• Y = מסתמך על מספרים
• Z = מדעי

נציב במשוואה, ממש כמו בבי"ס יסודי, לפני הצבא, ואחרי הצבה:

טיעון שני (טייק טו):

• הנחה: כל מה שנומרולוגי (X)  מסתמך על מספרים (Y)
• הנחה: כל מה שמסתמך על מספרים (Y) הוא מדעי (Z)
• מסקנה: כל מה שנומרולוגי (X) הוא מדעי (Z)

הטיעון השני אכן מתאים בצורתו לטיעון ברברה, ולכן הינו תקף. כל מה שנותר זה לבדוק את נכונות ההנחות, בכדי לדעת אם המסקנה נכונה או לא. לדעת ולא להאמין. לפחות אם אתה מקבל את הלוגיקה… (וזה כבר נושא לדיון אחר).

ההבדל בין תקף לנכון יכול לבלבל – אז נסתכן בהתשה, ונחזור: טיעון תקף מתייחס למבנה הטיעון ולקשרים שאנו יוצרים בין הנחות למסקנה. בטיעון תקף (מסוג סילוגיזם, אך גם מסוגים אחרים) נכונות ההנחות מחייבת את נכונות המסקנה. אפשר לומר גם, שלא ייתכן מצב שבו הטיעון תקף, כל ההנחות נכונות, ואילו המסקנה היא שגויה.
מי שמשתמש בדיונים שלו בטיעונים תקפים מקל מאוד על ההבנה, מחדד את הדיון (מאפשר להתמקד בברור אמיתות ההנחות) והופך את דרך החקירה לפשוטה יותר. בקרוב ניגע ברטוריקה ונראה שלא כולם מעוניינים להפוך את הדיון לחד. אך בל נקדים את המאוחר.

למתקדמים (ורק למתקדמים – אחרת דלגו על הפסקה הבאה בבקשה, בטח הראש כבר מתחיל לכאוב קלות ברקה):

• אם הטיעון לא תקף, לא ניתן לדעת כלום על המסקנה! (ייתכן שהיא נכונה וייתכן שלא). לא ניתן להמשיך הלאה ולהשתמש במסקנה להמשך הדיון. זו טעות נפוצה מאוד.
• כמו כן, גם אם המסקנה נכונה, זה לא בהכרח אומר שהטיעון היה תקף! (ייתכן והיא נכונה אך לא נובעת מן ההנחות – כבר ראינו נון סקוויטר בדרך המשי, ייתכן שהיא נכונה תמיד, וייתכנו אפילו מקרים מורכבים אחרים)
  א ס פ י ר י ן !

אז רגע, נומרולוגיה מדעית? זה מה שיצא מכל הסיפור הזה? אתה הרי אומר שהטיעון הזה תקף!

זהירות! אכן ראינו שהטיעון השני תקף למהדרין, ואפילו עונה לשם ברברה, המסקנה נובעת מן ההנחות, אך היא נכונה רק אם ההנחות נכונות. אז נשאר רק לבדוק אם ההנחות נכונות. פשוט – לא?

אז כמו שאומר אושיק לוי בחצר הפלפלים:

רגע רגע סבלנות – מיד הכל נדע

אחד הדברים המרתקים והיפים בחקירה מדעית היא הדרך בה בונים נדבכים של ידע חדש או מעודכן על בסיס ידע קודם. הקידמה מתאפשרת בזכות הסתמכות על עבודת קודמינו והימנעות מהמצאת הגלגל בכל פעם מחדש.
אך כל המבנה המפואר הזה היה מתמוטט מזמן אם היינו מתבססים על יסודות רעועים שלא נבדקו היטב. פיסות ידע חדש צריכות להבדק היטב לפני שמאמצים אותן בתור משען לקומות הבאות של הבניין, וגם "ידע" ישן צריך להבדק ולעמוד במבחנים שוב ושוב.
[זו דרך אגב אחת הסיבות העיקריות שתחומי פסאודו-מדע שונים אינם מתקדמים לשום מקום – היסודות שלהם רעועים לחלוטין, ואינם מאפשרים צמיחה לגובה. במקום זאת הם מתרבים לרוחב, כעשבים שוטים, ולא כעצים איתנים. גלשנו.]

אז נחזור לטיעון ברברה שלנו, אחת ההנחות בו היתה המסקנה של הטיעון הראשון:

• כל מה שמסתמך על מספרים הוא מדעי

האם ההנחה הזאת נכונה? מכיוון שזו המסקנה של הטיעון הראשון, הגיע הזמן לחקור טיעון זה מקרוב.

טיעון ראשון:

• הנחה: מתמטיקה היא מדעית.
• הנחה: מתמטיקה מסתמכת על מספרים.
• מסקנה: כל מה שמסתמך על מספרים הוא מדעי.

זה גם נראה כמו סילוגיזם. האם נצליח למצוא אותו ברשימת התבניות התקפות? האם זו דאטיסי? פריסון הילטון? או שמא דימאריס? נראה שלא. טיעון מצורה זו לא מופיעה ברשימה. למה? מכיוון שהוא לא תקף.

אז מה לא בסדר?

משהו מריח לא טוב

לפני שנסביר מה בדיוק לא בסדר, נכיר כמה מן הכשלים הנפוצים בטיעוני סילוגיזם:

כשל ארבעת התנאים – בסילוגיזם שתי ההנחות יכולות להכיל שלושה תנאים בלבד, כדי שניתן יהיה להסיק מהן מסקנה תקפה (תנאי מסוים צריך להופיע בשתי ההנחות ולקשר ביניהן). אם הן מכילות ארבעה תנאים ואינם קשורות, שום מסקנה אינה תקפה:

• הנחה: לשפן יש בית.
• הנחה: לכובע שלי שלוש פינות.
• לכן – מה? איזו מסקנה אפשר בכלל להסיק? אין שום דרך לקשר בין הטענות, מכיוון שאין מכנה משותף בין ארבעת התנאים (שפן, בית, כובע, שלוש פינות).

סילוגיזם קטיגורי – בטענה תקפה, ההנחה הראשית והמשנית מובילות יחדיו למסקנה. כשלים קורים כאשר (בהפשטה מרובה) ההנחה הראשית, המשנית, או צרופם – אינו מוביל למסקנה, למשל:

• הנחה: הדואר בא היום באוטו האדום.
• הנחה: לכל הבלונדיניות יש אוטו אדום.
• מסקנה: הדואר הובא היום ע"י בלונדינית…
  – זהו כשל בצרוף ההנחות. ניתן לתקן אותו, למשל ע"י השינוי הבא בהנחה השנייה – 'רק לבלונדיניות יש אוטו אדום' ואז הטיעון תקף.

מקרה מיוחד בסילוגיזם קטיגורי הוא מסקנה חיובית מהנחות שוללות – כשל בו אנו מנסים להסיק משהו חיובי ע"ס לפחות הנחה אחת שלילית:

• הנחה: דברים (קיימים) הם לא כפי שהם נראים  (המוטו שלנו בחשיבה חדה).
• הנחה: דני דין אינו נראה.
• מסקנה: 'דני דין הוא דבר קיים!'
  – לא ניתן להסיק מסקנה חיובית מהנחות שוללות (חוצמזה יש עירפול לגבי המושג נראה, אבל נתעלם ממנו). הטיעון אינו תקף.

סילוגיזם סטטיסטי – טענה סטטיסטית לגבי רוב, בדרך כלל, כמעט אף פעם לא, וכד'

חריג – טיעון המתבסס על הכללות ללא התחשבות בחריגים סבירים

• הנחה: (רוב) רואי חשבון הם אנשים ישרים.
• הנחה: רואי חשבון אישרו את הדו"חות של אנרון.
• מסקנה: הדו"חות של אנרון מדוייקים.
  – זה שבד"כ או אפילו על פי רב רואי החשבון הם ישרים, לא אומר שאלו של אנרון היו כאלו. די ברור שלא לגמרי…

חריג הפוך – טיעון שיוצר כלל מתוך היוצא מן הכלל…

• הנחה: מי שמחליק על קליפת בננה, יכול לפול, לשבור משהו, ואף לגרום לנזקים בלתי הפיכים לעצמו.
• הנחה: יתכנו קליפות בננה ברחובות העיר.
• מסקנה: אין לצאת מהבית מחשש לנזקים בלתי הפיכים!

מקור: http://r-mew.blogspot.com/2009/11/anatomy-of-lie.html

בחזרה למספרים

נחזור לטיעון הראשון:

• הנחה: מתמטיקה היא מדעית.
• הנחה: מתמטיקה מסתמכת על מספרים.
• מסקנה: כל מה שמסתמך על מספרים הוא מדעי.

או בצורה כללית:

• הנחה: קיים X  שהוא Y
• הנחה: קיים X שהוא Z
• מסקנה: כל Z הוא Y

הטיעון הזה, אינו תקף. הוא דוגמא לכשל אילקיט מינור. זה שמתמטיקה היא גם מדעית וגם משתמשת במספרים, לא אומר שום דבר על הקשר או הסיבתיות בין מדע למספרים, למשל שכל מה שמשתמש במספרים הוא מדעי.

* טריק פשוט לבדיקת טיעונים – שימרו על התבנית אך החליפו את המושגים לפשוטים וברורים לכם עד כמה שאפשר, למשל:

• מלפפון הוא ירוק.
• מלפפון הוא ארוך.
• לכן: כל מה שארוך הוא ירוק?

אולי המסקנה נכונה ואולי לא, אבל היא אינה נובעת מן ההנחות. לכן אי אפשר להשתמש בה כהנחה נכונה בטיעונים בהמשך.

אם ההנחה המשנית היתה 'אך ורק מתמטיקה מסתמכת על מספרים' הטיעון היה הופך תקף, אבל אז היתה הנומרולוגיה מתפוגגת מן העולם, כמו גם חשבונות המכולת והשיר "לכובע שלי שלוש פינות", שמשתמשים גם הם במספרים. חבל, דווקא שיר טוב.

סוף דבר

לסיכום, למרות שהטיעון השני תקף, לא ניתן לדעת אם מסקנתו נכונה, וזאת מכיוון שאחת ההנחות שלו מתבססת על מסקנת הטיעון הראשון שאינו תקף. מעבר לכך, ידע נוסף מראה לנו כי המסקנה של הטיעון הראשון אינה נכונה, כלומר, יש בהחלט דברים שמשתמשים במספרים אך אינם מדע, כלומר, אחת מהנחותיו של הטיעון השני בפירוש אינה נכונה, מה שאומר שלא ניתן לדעת דבר על נכונות מסקנתו. (כזכור, רק אם כל ההנחות של טיעון תקף נכונות מובטח לנו שמסקנתו נכונה. אם לפחות אחת מהן אינה נכונה, יתכן והמסקנה נכונה, ויתכן שלא, ולא ניתן להסיק זאת מהטיעון).

מבלבל? קצת. אבל אף אחד לא טען שחשיבה חדה היא אינטואיטיבית. לפעמים ההיפך הוא הנכון. היא דורשת תרגול ומאמץ מסוימים, אך מבטיחה מסקנות נכונות יותר.

***

מצטער. לא הצלחתי להראות שנומרולוגיה היא מדע. לפחות לא על סמך הטיעונים שפירטנו. אבל אולי נצליח להראות משהו במחקר הנומרולוגי? יאללה, אם עוד לא מילאתם את הטופס, זו ההזדמנות. קדימה, עוד מעט סוגרים את הבאסטה!

***

*ספויילר* – תשובות לחידות

האם נכון שאף דג לא עף? לא נכון! Flying Fish או דאונים בעברית, הם דגים שעפים:

ולפני שנפרד, האם גיליתם מי היא ברברה הבלונדינית הסודית? היא אותה אחת שעומדת מאחורי הציטוט שפתח את הפוסט הזה. או אולי יושבת. לא אמרתי שוכבת! אוף אתכם. מי שחשב שזו הבלונדינית הסודית יקבל פרס ניחומים על החקירה המשובחת.

____________________________________________________________________

רוצים לקבל עדכון במייל בכל פעם שאני מפרסם משהו חדש? הרשמו למעלה מימין (תמיד אפשר לבטל).
חושבים שאחרים יכולים להתעניין? שילחו להם את הכתבה או שתפו בפייסבוק!